Teorema de Thales

Primer Teorema
Sean dos rectas (d) y (d') orientadas y concurrentes en un punto O. Sean A y A' dos puntos de (d), y B y B' dos puntos de (d'). Entonces:

Es decir, que la igualdad de los cocientes equivale al paralelismo. Este teorema establece así una relación entre el álgebra y la geometría.

La primera figura corresponde a medidas algebraicas positivas - los vectores OA, OA', OB y OB' tienen la misma orientación que la rectas (d) y (d'), y la segunda a cocientes negativos.

Si se aplica el teorema, tenemos además otra consecuencia: si se orienta de la misma manera las dos rectas paralelas (AB) y (A'B'), es decir con el mismo vector, entonces el tercer cociente (de medidas algebraicas): A'B' / AB es igual a los dos anteriores.

A veces se reserva el nombre de teorema de Tales al sentido directo de la equivalencia, y el otro sentido recibe el nombre de recíproca del teorema de Tales.

Este teorema es un caso particular de los triángulos similares o semejantes.

Una aplicación interesante es para medir la altura de un árbol.

1. Medimos la longitud de su sombra a una hora determinada. = C
2. Medimos la longitud de la sombra de un objeto pequeño (por ejemplo un lápiz) en el mismo instante. = B
3. Medimos la longitud real del mismo cuerpo. = A

Y obtenemos donde D es la altura real del árbol.

También se puede relacionar para medir una distancia, cuya finidad no pueda ser medida, y apoyándose en un punto, se puede lograr.

Segundo Teorema
Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB], distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB es recto.

Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos.

Prueba: OA = OB = OC = r, radio del círculo. Por lo tanto OAC y OBC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC vale 2α + 2β = π (radianes). Dividiendo por dos, se obtiene (o 90º). Además dice que la bisectriz de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo con la bisectriz en dos segmentos iguales

Hipotenusa (al cuadrado) = C(Al cuadrado) + C(Al cuadrado, es decir AB²=CA²+CB². En conclusión se forma un triangulo rectangulo.